好的！这个问题主要考察二次函数和抛物线的基本知识。我们来一步一步解答。
一、理解题意
已知抛物线 ( y = x^2 bx c ) 的顶点坐标为 ( (1, -5) )，并且方程 ( x^2 bx c = 0 ) 有两个不同实数根。我们需要求出抛物线的表达式、判别式以及这两个根的位置关系。
二、求抛物线的顶点
二次函数的一般形式为： [ y = ax^2 bx c ] 其顶点坐标公式为： [ (h, k) = \left( -\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}) \right) ] 题目中给出的抛物线是： [ y = x^2 bx c ] 也就是 ( a = 1 )，顶点坐标为 ( (1, -5) )。根据公式，可以得到： [ h = 1 = -\frac{b}{2a} = -\frac{b}{2 \times 1} ] 解得： [ b = -2 ]
接下来计算 ( k )，即顶点的 y 坐标： [ k = f(1) = (1)^2 (-2)(1) c = 1 - 2 c = -1 c ] 题目中给出 ( k = -5 )，所以： [ -1 c = -5 ] 解得： [ c = -4 ]
因此，抛物线的表达式为： [ y = x^2 - 2x - 4 ]
三、求判别式
对于二次方程 ( ax^2 bx c = 0 )，判别式 ( D ) 的定义为： [ D = b^2 - 4ac ] 将已知的 ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -4 ) 代入： [ D = (-2)^2 - 4(1)(-4) = 4 16 = 20 ]
四、方程有两个不同实数根的条件
判别式大于零时，二次方程有两个不同的实数根。因为 ( D = 20
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